В треугольнике АВС точка М принадлежит стороне ВС. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке Р. Прямая ВР пересекает сторону АС в точке R. Какую часть АС составляет отрезок AR, если АМ : МВ=3 : 5 и NC : BN = 3 : 2?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи посмотрим на треугольники AMN и CBN.

Из условия известно, что AM : MB = 3 : 5 и NC : BN = 3 : 2. Так как BN = BN, то отрезки AN и СМ делят стороны треугольников NCM и NMB в одном и том же отношении.

Таким образом, точка P, являющаяся пересечением отрезков AN и СМ, делит сторону BC в том же отношении, то есть PC : CB = 3 : 2.

Теперь, рассмотрим треугольник BCR. По теореме Талеса, отношение длин отрезков AR и RC будет равно отношению длин отрезков AN и NP на прямой ВР.

Так как ПС : СВ = 3 : 2 и AN : NP = 3 : 5, получаем AR : RC = 3 : 2 * 3 : 5 = 9 : 5.

Итак, отрезок AR составляет 9 / (9 + 5) = 9 / 14 часть отрезка AC.