Даны 2 окружности с общим центром в точке О. АС и ВD-их диаметры. Доказать,что четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что так как AC и BD - диаметры окружностей, то точки A, B, C, D лежат на окружностях с центром в точке О. Это значит, что углы ACB и ADB - прямые.

Теперь рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них соответственные углы при вершинах C и A равны, так как это углы, вписанные в окружность, натянутые на одной дуге AC. Углы при вершинах B и D также равны по построению (они равны 180 градусов минус соответствующий угол при вершине C и D).

Таким образом, у треугольников ABC и CDA противоположные углы равны, а значит, по критерию равенства треугольников, они равны.

Это значит, что стороны AB и CD равны, а стороны AC и BD равны. Таким образом, треугольник ABC равен треугольнику CDA.

Из равенства треугольников следует, что стороны противоположные равных углов также равны. То есть AB=CD и AC=BD.

Таким образом кратчайшие стороны параллелограмма ABCD равны, а его длинные стороны равны, что и означает, что ABCD - параллелограмм.