В конус вписан равносторонний цилиндр.найдите высоту цилиндра,если высота конуса равна Н и угол при вершине осевого сечения равен альфа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус основания цилиндра равен r, а радиус основания конуса равен R.

Так как конус вписан в цилиндр, то высота цилиндра равна высоте конуса:
h_cylinder = h_cone = H

Также из условия задачи следует, что конус равнобедренный. Угол при вершине конуса равен углу у осевого сечения равен α. Таким образом, треугольник, образованный радиусом R и высотой конуса H, равнобедренный. То есть углы при основании R будет равны α.

Рассмотрим треугольник со сторонами R, r и высотой h, который подобен равнобедренному треугольнику. Из подобия треугольников получаем соотношения сторон и высот:

R/r = h/H = (2Rsin(α))/(2rsin(π/3)) = R/r.

Отсюда R^2 = r^2

Так как это уравнение выполнется если и только если R = r, то это означает, что конус может быть вписан только в цилиндр, у которого радиус основания равен радиусу конуса.

Таким образом, высота цилиндра равна H.