Докажите, что четырехугольник АВСD - параллелограмм, если А(2;1;2), В(1;0;6), С(-2;1;4), D(-1;2;0).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Вектор AB = B - A = (1-2; 0-1; 6-2) = (-1; -1; 4)

Вектор AD = D - A = (-1-2; 2-1; 0-2) = (-3; 1; -2)

Вектор BC = C - B = (-2-1; 1-0; 4-6) = (-3; 1; -2)

Вектор CD = D - C = (-1+2; 2-1; 0-4) = (1; 1; -4)

Для этого убедимся, что векторы AB и CD равны по длине и противоположно направлены, а также векторы AD и BC равны по длине и противоположно направлены.

|AB| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 4^2) = sqrt(1+1+16) = sqrt(18)

|CD| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-4)^2) = sqrt(1+1+16) = sqrt(18)

|AB| = |CD|

|AD| = sqrt((-3)^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(9+1+4) = sqrt(14)

|BC| = sqrt((-3)^2 + 1^2 + (-2)^2) = sqrt(9+1+4) = sqrt(14)

|AD| = |BC|

Таким образом, векторы AB и CD равны по длине и противоположно направлены, а векторы AD и BC также равны по длине и противоположно направлены. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.