В прямоугольном треугольнике ABC угол A = 40 градусам , угол B = 90 градусам , а в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как 5 : 9 : 4 . AB = 3 см , KN = 9 см . Найдите : а) ВС : NM; б) S треугольника ABC : S треугольника MNK ; в ) P abc : P mnk

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для начала найдем длину гипотенузы треугольника ABC. Так как угол B = 90 градусов, то по теореме Пифагора получаем:
AC = √(AB^2 + BC^2),
AC = √(3^2 + BC^2),
AC = √(9 + BC^2).
Так как угол A = 40 градусов, то угол C = 180 - 40 - 90 = 50 градусов. Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны BC:
BC/sin(A) = AC/sin(C),
BC/sin(40) = √(9 + BC^2) / sin(50),
BC = sin(40) √(9 + BC^2) / sin(50),
BC = 0.6428 √(9 + BC^2) / 0.766,
BC = √(9 + BC^2) 0.838,
(BC^2) = 0.702 (9 + (BC^2)),
0.298 * (BC^2) = 6.732,
BC^2 = 22.58,
BC = √22.58,
BC = 4.75.

Теперь построим треугольник MNK с соотношением длин сторон 5:9:4. Пусть длина стороны MN = 5k, NK = 9k, MK = 4k. Тогда NM = 5k, MK = (KN - NM) = 4k и NK = 9k. Имеем MN = 5, KN = 9, NM = 5. Подставляем в формулу:

BC/5 = 4.75/5,
BC = 4.75,
BC/NM = 4.75/5,
BC = NM 4.75/5,
BC = 5 4.75/5,
BC = 4.75,
ВС : NM = 4.75 : 5,

б) Площадь треугольника ABC равна:
S(ABC) = 0.5 AB BC = 0.5 3 4.75 = 7.12.

Площадь треугольника MNK равна:
S(MNK) = 0.5 NM KN sin(M) = 0.5 5 9 sin(40) = 11.45.

Отношение площадей:
S(ABC) : S(MNK) = 7.12 : 11.45,

в) Перейдем к нахождению периметров треугольников. Периметр треугольника ABC равен:
P(ABC) = AB + BC + AC = 3 + 4.75 + √22.58,
P(ABC) ≈ 12.28.

По аналогии, периметр треугольника MNK равен:
P(MNK) = MN + NK + MK = 5 + 9 + 4 = 18.

Отношение периметров:
P(ABC) : P(MNK) = 12.28 : 18.