. Точка М не лежит в плоскости треугольника АВС и находится на расстоянии МК и МD от катетов ВА и ВС прямоугольного треугольника АВС, Мо – перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Докажите, что четырехугольник ВКОD – прямоугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник VKD прямоугольный, так как угол VKD является прямым (так как Мо перпендикулярна плоскости треугольника ABC и пересекает сторону VKD в точке K).

Теперь докажем, что стороны VK и KD параллельны сторонам BC и AD соответственно. Рассмотрим треугольники AMK и CDM. У них по две пары равных углов (так как вертикальные), следовательно, они равны их третьими углами (по теореме о равных углах). Таким образом, эти треугольники подобны, поэтому отношение сторон AK/CM = MK/MD = VK/KD.

Из этого следует, что VK и KD параллельны сторонам BC и AD. Также из прямоугольности треугольника VKD и параллельности его сторон сторонам ABCD следует, что четырехугольник VKOD - прямоугольник.