Дано:AB=BC; угол A =60°;CD-биссектриса угла BCE. Доказать:DC||AB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Так как AB=BC, то треугольник ABC равнобедренный.
Следовательно, ∠C = ∠B = (180° - ∠A)/2 = (180° - 60°)/2 = 60°/2 = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник BCD.
У него ∠B = 60°, ∠C = 30° и CD - биссектриса угла BCE.
Из свойств биссектрисы следует, что ∠BCD = ∠BCA.

Так как AB=BC и ∠BCA = ∠BCD, то треугольники BCA и BCD равны по стороне-углу-стороне и, следовательно, ∠CAD = ∠BCD = ∠BCA.

Так как ∠CAD = ∠BCA и ∠C = ∠A, то треугольники ADC и ABC подобны по углу-углу-углу.

Отсюда следует, что ∠DCA = ∠BAC.

Поскольку AD = AB (соответственные стороны подобных треугольников равны), а ∠DCA = ∠BAC, то треугольники ADC и ABC равны по стороне-углу-стороне.

Следовательно, DC || AB.

Теорема доказана.