Противоположные стороны четырехугольника попарно равны.докажите что это параллелограмм

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что противоположные стороны параллельны.

Пусть ABCD - четырехугольник, у которого противоположные стороны AB и CD равны, и противоположные стороны BC и AD равны.

Предположим, что стороны AB и CD не параллельны. Тогда на них существует точка E, такая, что AE и CD пересекаются в точке F. Тогда треугольники AEF и CDF равны по стороне-уголу-стороне (так как AE = CD, EF общая, и угол AEF = угол CDF, так как образованы параллельными линиями AB и CD). Тогда DF = AE = CD, что противоречит условию.

Таким образом, стороны AB и CD параллельны. Проводя аналогичные рассуждения для сторон BC и AD, получаем, что и они параллельны.

Таким образом, все противоположные стороны четырехугольника параллельны. Поскольку у параллелограмма противоположные стороны также параллельны, то по определению, четырехугольник с параллельными противоположными сторонами является параллелограммом.