Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке K. Найти

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

отношение AK : KΒ.

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством подобных треугольников.

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). Пусть H - ортоцентр треугольника ABC. Тогда по свойству подобия треугольников AHK и CHB будут подобны соответственно сторонам AK и KB.

Таким образом, можно записать пропорцию:

AK : KB = AH : HC

Но так как AH = 2RcosA и HC = 2RcosC (R - радиус описанной окружности треугольника ABC), то можно далее переписать пропорцию:

AK : KB = 2RcosA : 2RcosC

AK : KB = cosA : cosC

Таким образом, отношение AK : KB равно отношению косинусов углов A и C треугольника ABC.