В остроугольном треугольнике АВС АС=b, ∠A=α, ∠C=β. Выразите проекции сторон АВ и ВС на сторону АС. (Задачу нужно решить без использования теоремы синусов.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим проекцию стороны АВ на сторону АС через h1, а проекцию стороны ВС на сторону АС через h2.

Так как треугольник АВС остроугольный, то для нахождения проекций можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Из прямоугольных треугольников АХС и ВХС, где Х - проекция точки В на сторону АС, получаем:

h1^2 + b^2 = AB^2 (1)
h2^2 + b^2 = BC^2 (2)

Из теоремы косинусов для треугольника АВС:

AB^2 = b^2 + h1^2

Подставляем это равенство в уравнение (1):

b^2 + h1^2 = AB^2

То есть:

AB = √(b^2 + h1^2)

Аналогично для треугольника ВСА:

BC = √(b^2 + h2^2)

Теперь из теоремы косинусов для треугольника АСВ:

cos(α) = h2 / BC = h2 / √(b^2 + h2^2)

cos(β) = h1 / AB = h1 / √(b^2 + h1^2)

Таким образом, проекции сторон АВ и ВС на сторону АС зависят от углов α и β, а также от длины стороны b.