Высота CD ,проведённая к основанию AB равнобедренного треугольника ABC , равна 3 см,AB = 8 см.Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной вокруг треугольника окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку CD - высота и проведена к основанию AB равнобедренного треугольника, то треугольник ACD и треугольник BCD суть прямые и равнобедренные.

Пусть r - радиус вписанной окружности треугольника ABC, R - радиус описанной окружности. Тогда ясно, что AD = DC = BD = 3 см, так как треугольник ACD и BCD - равнобедренные.

По этому поводу треугольники ACD и BCD - равны и подобны. Обозначим a = AC = BC - стороны равнобедренного треугольника. Тогда из подобия треугольников:

AD / AC = CD / a => 3 / a = 3 / a => a^2 = 3^2 => a = √9 = 3.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Пусть I - центр вписанной окружности. Тогда AI - радиус вписанной окружности. По свойству треугольника радиус вписанной окружности равен среднему линий треугольника. То есть AI = (AB + BC - AC) / 2 = (8 + 3 - 3) / 2 = 4.

Таким образом, радиус вписанной окружности равен 4 см.

Также радиус описанной окружности можно найти как произведение сторон треугольника и деление на удвоенный периметр, то есть R = (AB AC BC) / (2 P) = (8 3 3) / (2 (8 + 3 + 3)) = 36 / 28 = 1.29.

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 4 см, а радиус описанной окружности равен 1.29 см.