Задача по квантовой механике и по квантовой химии Операторы А и В линейны. Доказать, что оператор А+В тоже линеен.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства линейности оператора А+В необходимо показать, что он удовлетворяет двум условиям линейности:

Давайте проверим первое условие:

(A+V)(c1u + c2v) = A(c1u + c2v) + V(c1u + c2v) = c1A(u) + c2A(v) + c1V(u) + c2V(v)

С учетом линейности операторов A и V, получаем:

c1A(u) + c2A(v) + c1V(u) + c2V(v) = c1(A(u) + V(u)) + c2(A(v) + V(v)) = c1(A+V)(u) + c2(A+V)(v)

Таким образом, первое условие линейности для оператора A+V выполняется.

Проверим второе условие:

(A+V)(u+v) = A(u+v) + V(u+v) = A(u) + A(v) + V(u) + V(v)

С учетом линейности операторов A и V, получаем:

A(u) + A(v) + V(u) + V(v) = (A(u) + V(u)) + (A(v) + V(v)) = (A+V)(u) + (A+V)(v)

Таким образом, второе условие линейности для оператора A+V также выполняется.

Следовательно, мы доказали, что оператор А+В является линейным.