Две химические реакции при температуре 20ºС протекают с одинаковой скоростью. При повышении температуры на каждые 10ºС скорость первой реакции увеличивается в 3 раза, второй - в 4 раза. При какой температуре скорость второй реакции в три раза превысит скорость первой?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся законом Аррениуса, который описывает зависимость скорости реакции от температуры. Условно обозначим скорости реакций при температуре T как ( k_1(T) ) и ( k_2(T) ).

При повышении температуры на 10ºС скорость первой реакции увеличивается в 3 раза, а второй - в 4 раза. Можно выразить скорости реакций в зависимости от температуры:

( k_1(T + 10) = 3 k_1(T) )

( k_2(T + 10) = 4 k_2(T) )

Пусть при температуре ( T ) (где ( T = 20ºC )) скорости реакций равны:

( k_1(20) = k )

( k_2(20) = k )

При температуре ( T + 10n ) (где ( n ) - количество повышений на 10ºС), скорости реакций будут:

( k_1(20 + 10n) = 3^n k )

( k_2(20 + 10n) = 4^n k )

Мы ищем такую температуру, при которой скорость второй реакции в три раза превышает скорость первой:

[ k_2(20 + 10n) = 3 k_1(20 + 10n) ]

Подставим выражения для скоростей:

[ 4^n k = 3 \cdot (3^n k) ]

Сократим ( k ) (по условию ( k \neq 0 )):

[ 4^n = 3 \cdot 3^n ]

Перепишем уравнение:

[ 4^n = 3^{n+1} ]

Теперь логарифмируем обе части:

[ n \log(4) = (n + 1) \log(3) ]

Решим это уравнение для ( n ):

[ n \log(4) = n \log(3) + \log(3) ]

[ n(\log(4) - \log(3)) = \log(3) ]

[ n = \frac{\log(3)}{\log(4) - \log(3)} ]

Теперь подставим значение ( n ) в ( T + 10n ):

[ T = 20 + 10n = 20 + 10 \cdot \frac{\log(3)}{\log(4) - \log(3)} ]

Посчитаем ( \log(3) ) и ( \log(4) ) (в разной логарифмической базе, например, десятичной):

[
\log(3) \approx 0.4771, \quad \log(4) \approx 0.6021
]

Теперь подставим эти значения:

[
n = \frac{0.4771}{0.6021 - 0.4771} = \frac{0.4771}{0.125} \approx 3.816
]

Теперь найдем ( T ):

[
T = 20 + 10 \times 3.816 = 20 + 38.16 \approx 58.16ºC
]

Таким образом, при температуре приблизительно 58.2ºС скорость второй реакции в три раза превысит скорость первой.