Возможные превращения и реакции между указанными формами кальция (с краткими пояснениями):
1) Окисление кальция в оксид:
$$2\mathrm{Ca}+{\mathrm{O}}_2\to 2\mathrm{CaO}$$ (высокая температура, простая реакция металла с кислородом).
2) Образование карбоната (через оксид или гидроксид):
$$\mathrm{CaO}+{\mathrm{CO}}_2\to {\mathrm{CaCO}}_3$$ или через гидроксид:
$$\mathrm{CaO}+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}\to \mathrm{Ca}(\mathrm{OH}{)}_2,\mathrm{Ca}(\mathrm{OH}{)}_2+{\mathrm{CO}}_2\to {\mathrm{CaCO}}_3+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$$ (карбонизация при контакте с углекислым газом).
3) Образование нитрата кальция из оксида или карбоната (реакция с азотной кислотой — нейтрализация/разрушение карбоната):
$$\mathrm{CaO}+2{\mathrm{HNO}}_3\to \mathrm{Ca}(\mathrm{N}{\mathrm{O}}_3{)}_2+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$$ $${\mathrm{CaCO}}_3+2{\mathrm{HNO}}_3\to \mathrm{Ca}(\mathrm{N}{\mathrm{O}}_3{)}_2+{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}+{\mathrm{CO}}_2\uparrow$$
4) Прямое взаимодействие кальция с азотной кислотой (зависит от концентрации кислоты — при разбавленной возможно выделение водорода, при концентрированной — окисление с образованием оксидов азота):
в идеализированном случае с негрубым окислением:
$$\mathrm{Ca}+2{\mathrm{HNO}}_3\to \mathrm{Ca}(\mathrm{N}{\mathrm{O}}_3{)}_2+{\mathrm{H}}_2$$ при сильном окислении возможны продукты типа $\mathrm{NO}$ / $\mathrm{N}{\mathrm{O}}_2$ (уводящая реакция).
Если нужно — укажу условия (температура, раствор, концентрация кислот) для каждой стадии или схему преобразований в конкретном технологическом процессе.