Найдите основание системы счисления х, для которого выполняется равенство а) 32_х + 64_х = 106_х; б) 45_х + 55_х = 122_х; в) 42_х + 41_х = 133_х; г) 91_х+ 93_х = 154_х.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для равенства 32_х + 64_х = 106_х переведем числа в десятичную систему счисления
32_х = 3 x^1 + 2 x^
64_х = 6 x^1 + 4 x^
106_х = 1 x^2 + 0 x^1 + 6 * x^0

Теперь составим уравнение
3x + 2 + 6x + 4 = x^2 +
9x + 6 = x^2 +
x^2 - 9x + 6 = 0

Решив квадратное уравнение, получим два корня: x = 3 и x = 6.

б) Для равенства 45_х + 55_х = 122_х переведем числа в десятичную систему счисления
45_х = 4 x^1 + 5 x^
55_х = 5 x^1 + 5 x^0

Составляем уравнение
4x + 5 + 5x + 5 = x^2 + 2x +
9x + 10 = x^2 + 2x +
x^2 - 7x - 8 = 0

Решив уравнение, получаем корни x = 8 и x = -1. Т.к. основание системы счисления не может быть отрицательным, отбрасываем x = -1.

в) Для равенства 42_х + 41_х = 133_х переводим числа в десятичную систему счисления
42_х = 4 x^1 + 2 x^
41_х = 4 x^1 + 1 x^
133_х = 1 x^2 + 3 x^1 + 3 * x^0

Составляем уравнение
4x + 2 + 4x + 1 = x^2 + 3x +
8x + 3 = x^2 + 3x +
x^2 - 5x = 0

Решив уравнение, получаем корни x = 0 и x = 5. Т.к. основание системы счисления не может быть равно нулю, отбрасываем x = 0.

г) Для равенства 91_х + 93_х = 154_х переведем числа в десятичную систему счисления
91_х = 9 x^1 + 1 x^
93_х = 9 x^1 + 3 x^
154_х = 1 x^2 + 5 x^1 + 4 * x^0

Составляем уравнение
9x + 1 + 9x + 3 = x^2 + 5x +
18x + 4 = x^2 + 5x +
x^2 - 13x = 0

Решив уравнение, получаем корни x = 0 и x = 13. Т.к. основание системы счисления не может быть равно нулю, отбрасываем x = 0.

Итак, для равенств а) и в) основанием системы счисления является x = 5.