Разложить функцию f(x)=1/(5x-25) в ряд Тейлора по степеням (x-2) с абсолютной погрешностью не хуже 10^(-6). не могу составить программу в С++. Нужна помощь.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, найдем производные функции f(x)=1/(5x-25):

f'(x) = -5/(5x-25)^
f''(x) = 50/(5x-25)^
и так далее.

Сразу заметим, что функция f(x) не определена в точке x=5, поэтому разложение Тейлора будем проводить в окрестности точки x=2.

Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x=a до n-го члена задается формулой:

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^(n)(a)*(x-a)^n/n!,

где f^(n)(a) - n-ая производная функции f(x) в точке a.

Для нахождения коэффициентов в разложении найдем значение производных в точке a=2:

f(2) = 1/(52-25) = -1/15
f'(2) = -5/(52-25)^2 = -1/75
f''(2) = 50/(5*2-25)^3 = -1/225.

Теперь можем записать ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x=2:

f(x) ≈ -1/15 - 1/75(x-2) - 1/225(x-2)^2.

Для оценки абсолютной погрешности, нам необходимо оценить остаточный член в форме Лагранжа:

|Rn(x)| ≤ M*|x-a|^(n+1)/(n+1)!,

где M - максимальное значение производной n+1 порядка в заданной окрестности.

Для нашего примера, n=2, a=2, поэтому нас интересует третья производная функции f(x) в окрестности точки x=2:

f'''(x) = -150/(5x-25)^4.

Так как функция f'''(x) непрерывна и ограничена в окрестности точки x=2, то можем найти её максимальное значение в этой окрестности, для этого найдем производную f'''(x) и приравняем к нулю:

f''''(x) = 600/(5x-25)^5 = 0 => x=5.

Проверим знаки на концах интервала [2,5]
f'''(2) = -150/(52-25)^4 < 0
f'''(5) = -150/(55-25)^4 < 0.

Таким образом, M = |f'''(5)| = 150/(5*5-25)^4 = 150/3125^4.

Подставляем все значения в формулу оценки погрешности и получаем:

|R2(x)| ≤ 150/3125^4(x-2)^3/3! = 5(x-2)^3/3125.

Теперь можем оценить погрешность разложения для заданной точности 10^(-6), т.е. требуемое условие |R2(x)| < 10^(-6) должно выполняться для всех x из интервала [2,5].

Подставляем x=5 и получаем:

5(5-2)^3/3125 = 53^3/3125 = 135/625 < 10^(-6).

Таким образом, разложение функции f(x) в ряд Тейлора по степеням (x-2) до второго члена с данной абсолютной погрешностью возможно в заданном интервале.