Найдите решение уравнения 2t2yy' + y2 = 2, удовлетворяющее начальному условию y(1|ln7) = -4. В ответе укажите его предел при t → ∞

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано уравнение: 2t^2 y y' + y^2 = 2.

Подставляем начальные условия:
y(1) = ln(7) = -4

Пусть y(t) = u(t) v(t), где u(t) и v(t) - функции, которые нужно найти.
Тогда y'(t) = u'v + v'u, y''(t) = u''v + 2u'v' + v''u.

Подставляем в уравнение:
2t^2 y y' + y^2 = 2
2t^2 (u v)(u'v + v'u) + (u v)^2 = 2
2t^2 u(u'v + v'u)v + u^2 v^2 = 2
2t^2 u^2 v^2 + 2t^2 u v^2 u' + u^2 v^2 = 2
2t^2 u^2 v^2 + 2t^2 u v^2 u' + u^2 v^2 - 2 = 0

Найдем частные производные:
(2t^2 v^2 + 2t^2 u v u')u - 2 = 0
2t^2 u (v^2 + vu') - 2 = 0

Теперь предположим, что v^2 + vu' = 0,
=> v(u' + v) = 0
=> u' = -v

Подставляем в уравнение:
2t^2 u(v^2 - v^2) - 2 = 0
-2 = 0

Уравнение некорректно, поэтому нужно попробовать другой метод решения.