Теория чисел. Модули Найдите показатель числа а=7, по модулю m=13. Является ли число 7 первообразным корнем по модулю 13?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти показатель числа а=7, по модулю m=13, нужно найти такое наименьшее натуральное число k, что 7^k ≡ 1 (mod 13).

Пробуем возведения числа 7 в степени от 1 до 13:

7^1 ≡ 7 (mod 13)
7^2 ≡ 10 (mod 13)
7^3 ≡ 5 (mod 13)
7^4 ≡ 9 (mod 13)
7^5 ≡ 11 (mod 13)
7^6 ≡ 12 (mod 13)
7^7 ≡ 3 (mod 13)
7^8 ≡ 8 (mod 13)
7^9 ≡ 4 (mod 13)
7^10 ≡ 6 (mod 13)
7^11 ≡ 2 (mod 13)
7^12 ≡ 1 (mod 13)

Таким образом, показатель числа 7, по модулю 13, равен 12.

Для того чтобы узнать, является ли число 7 первообразным корнем по модулю 13, необходимо проверить, что для любого простого числа p, такого что p-1 делит 12, число 7 будет первообразным корнем по модулю p. В данном случае 13-1=12 делится на 2 и 3, поэтому число 7 является первообразным корнем по модулю 13.