Вычислить значение функции u и ее предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности ее аргументов. Найти количество верных значащих цифр функции u (в широком и узком смысле).
u=3sinx+cos⁡(1+1,6y), x=1,25±0,002, y=1,26±10%.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем значение функции u при заданных значениях x и y:

x = 1,25 ± 0,002 = 1,25 ± 0,002

y = 1,26 ± 0,126

u = 3 sin(1,25) + cos(1 + 1,6 1,26)
u ≈ 3 sin(1,25) + cos(1 + 2,016)
u ≈ 3 0,948683 + cos(3,016)
u ≈ 2,846049 + cos(3,016)

Теперь посчитаем предельные абсолютную и относительную погрешности функции u.

Погрешность аргумента x:
Δx = 0,002

Погрешность аргумента y (10% от 1,26):
Δy = 0,1 * 1,26 = 0,126

Погрешность функции u:
Δu = |3cos(1,25)Δx - 1,6sin(1 + 1,6 y)Δy|
Δu = |3 cos(1,25) 0,002 - 1,6 sin(3,016) 0,126|
Δu ≈ |3 (-0,11509) - 1,6 * 0,77063|
Δu ≈ |-0,34527 - 1,23208|
Δu ≈ 1,57735

Относительная погрешность:
ε = |Δu/u| 100%
ε = |1,57735/2,846049| 100%
ε ≈ 55,42%

Теперь посчитаем количество верных значащих цифр функции u.

Для узкого смысла: исходя из того, что погрешность равна ±0,002, у нас есть 1 значащая цифра в числе 2,846049 (первая цифра после запятой).

Для широкого смысла: исходя из того, что относительная погрешность составляет 55,42%, мы должны оставить 1 значащую цифру, чтобы учесть 2,846049 и 3.

Таким образом, у функции u есть 1 значащая цифра и в широком, и в узком смысле.