Решите это уравнение \begin{align} \cos(nx) & = \mathrm{Re} \{\ e^{inx}\ \} = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix} + e^{-ix} - e^{-ix})\ \} \\ & = \mathrm{Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace{(e^{ix} + e^{-ix})}_{2\cos(x)} - e^{i(n-2)x}\ \} \\ & = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. \end{align}

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Мы получаем уравнение:

[ \cos(nx) = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. ]

Для того чтобы найти решение этого уравнения, нам нужно использовать тригонометрические тождества. Так как выражение содержит произведение и сумму косинусов, нам потребуется использовать формулу для произведения косинусов:

[ \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} [ \cos(a+b) + \cos(a-b) ]. ]

Применяя эту формулу, мы можем переписать уравнение следующим образом:

[ \cos(nx) = \frac{1}{2} [ \cos(nx+x) + \cos(nx-x) ] \cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]. ]

Упрощая, получаем:

[ \cos(nx) = \cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x). ]

Следовательно, решением уравнения (\cos(nx) = \cos[(n-1)x]\cdot 2 \cos(x) - \cos[(n-2)x]) является (\cos(nx) = \cos((n+1)x) + \cos((n-1)x) - \cos((n-2)x)).