РЕШИТЕ И ДАЙТЕ ОТВЕТ Когда в произведении нескольких различных натуральных чисел, больших 1000, один из множителей уменьшили на натуральное число k, произведение уменьшилось в 4 раза. Если бы в исходном произведении другой множитель уменьшили на число k, произведение уменьшилось бы в 24 раза. При каком наименьшем k это возможно?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть исходное произведение равно $n = a \cdot b$, где $a > 1000$, $b > 1000$, $a \neq b$.

После уменьшения одного из множителей на $k$, получаем $a-k \cdot b$ или $b-k \cdot a$.

Первое уравнение можно записать как $4n = (a-k) \cdot b$, второе как $24n = (b-k) \cdot a$.

Так как $a \neq b$, без потери общности можно считать, что $a > b$.

Умножим первое уравнение на 6 и выразим $b$ через $a$ и $k$: $24n = 6(a-k) \cdot b \Rightarrow b = \frac{24n}{6 \cdot (a-k)} = \frac{4n}{a-k}$. Подставляем во второе уравнение: $24n = \left(\frac{4n}{a-k}-k\right) \cdot a$.

Раскрываем скобки и приведем подобные члены: $24n = \frac{4an}{a-k}-ak - 24k \Rightarrow 24k = \frac{4an}{a-k}-ak - 24n$.

Теперь находим наименьшее значение $k$, при котором это уравнение выполняется. Подставляем $n = 1001 \cdot 1002$, $a = 1002$:

$24k = \frac{4 \cdot 1001 \cdot 1002}{1002 - k}-1002k -24 \cdot 1001 \cdot 1002$

$24k = \frac{4008004}{1002 - k}-1002k -24199976$

$24k(1002-k) = 4008004-1002k(1002-k) -24199976(1002-k)$

$24k^2 - 24048k = 4008004-1002k(1002-k) -24199976(1002-k)$

Подставляем $k = 165$, решаем уравнение и сравниваем значение $k$ с $165$. Если $k=165$ удовлетворяет условию, значит, это наименьшее значение.