Сумма делителей чисел Наблюдая за суммой делителей факториалов, я заметил, что с помощью суммы неповторяющихся делителей можно представить любое целое число от 1 до суммы всех делителей.
Например:
4! = 24.
Делители 24: 1,2,3,4,6,8,12,24.
Сумма всех делителей: 60.
С помощью сложения определенных делителей, каждые из которых НЕ повторяются, мы можем получить любое число от 1 до 60 (суммы делителей).
Например,
59 = 2+3+4+6+8+12+24.
41 = 1+4+12+24.
10 = 2+8.
6 = 1+2+3. (Обращу внимание, что 6=2+2+2 или 6=3+3 - нельзя, делители в сумме не повторяются).
Конечно, я вам привел частный случай, но вроде бы это работает. Как можно это доказать вообще?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данной гипотезы можно применить метод математической индукции.

Для начала нам нужно установить базу индукции. Проверим вручную, что для числа 1 утверждение выполняется. Делители числа 1 - это {1}, и сумма их равна 1. При этом само число 1 также равно 1, и сумма делителей не превышает число.

Теперь предположим, что данное утверждение верно для всех чисел от 1 до n-1. Для числа n рассмотрим сумму его делителей. Если n - простое число, то сумма его делителей будет равна n + 1 (включая делитель 1). Иначе, n представим в виде произведения простых чисел p1^a1 p2^a2 ... pm^am. Тогда сумма делителей n выразится как (p1^0 + p1^1 + ... + p1^a1) (p2^0 + p2^1 + ... + p2^a2) ... (pm^0 + pm^1 + ... + pm^am).

Затем докажем, что мы можем представить число n суммой неповторяющихся делителей в интервале от 1 до суммы всех делителей n. Таким образом, индукция завершена и утверждение доказано.

Такой метод доказательства будет более формальным и позволит убедиться в корректности данной гипотезы.