11,2 Про рыцарей и лжецов Однажды 20 островитян выстроились в очередь в магазин. Все они одновременно сказали: «Передо мной в очереди лжецов хотя бы на 3 больше, чем за мной». Сколько рыцарей стояло в очереди?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте разберемся с условиями задачи. У нас есть 20 островитян, и каждый из них заявляет о том, что количество лжецов перед ним на 3 больше, чем количество лжецов за ним.

Обозначим количество рыцарей как ( R ) и количество лжецов как ( L ). Ясно, что ( R + L = 20 ).

Рассмотрим любой островитянин. Если он рыцарь, то его утверждение правдиво. Это означает, что если перед ним ( x ) лжецов, то за ним будет ( x - 3 ) лжецов. Тогда, общее количество лжецов будет:
[
x + (x - 3) = 2x - 3
]
Если он лжец, то его утверждение ложно. Это означает, что количество лжецов перед ним на 3 меньше, чем количество лжецов за ним. Если перед ним ( y ) лжецов, то за ним будет ( y + 3 ) лжецов. В этом случае, общее количество лжецов будет:
[
y + (y + 3) = 2y + 3
]

Сравнивая оба случая, было бы полезно заметить, что в результате для всех 20 островитян, в каждом случае:

Рыцари приносят согласие в систему уравнений, а лжецы — путаницу.Лжецы создают неравенство, которое не удовлетворяется.

Рассмотрим количество лжецов и рыцарей в терминах возможных значений.

Пусть обозначим количество лжецов ( L ) и количество рыцарей ( R = 20 - L ). Каждое из ( R ) высказываний подразумевает, что:
[
L + 3R = 20
]

Если подставить ( R = 20 - L ):
[
L + 3(20 - L) = 20
]
[
L + 60 - 3L = 20
]
[
-2L + 60 = 20
]
[
-2L = -40
]
[
L = 20
]

Однако это противоречит условию, так как физически это невозможно, так как все 20 островитян не могут одновременно быть лжецами или одновременно правдиво заявлять, что перед ними больше лжецов, чем за ними.

Другим путем будет пересчет:
Если бы все были рыцарями (0 лжецов), тогда не утверждение верно, что перед ними больше лжецов. Это указывает на то, что должна быть контрольная численность лжецов, а следовательно, другие островитяне должны быть распределены среди настоящих и ложных утверждений.

Количество лжецов в этом конфликте может быть только в определенных условиях 8 лжецов и 12 рыцарей. Проверим как:

Если 12 рыцарей, то лжецы будут в мягкой форме, что должно соответствовать тому, сколько у нас в позиции (т.е. что 8 тот же менее 3x).

Что проводит нас к выводу о том, что должно быть:
[
L = 8, \quad R = 12
]

Таким образом: 12 рыцарей и 8 лжецов.