Задание по математике, контрольная Номер 1: Через концы отрезки MN, не пересекающего плоскость a, и точку K-середину этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость a в точках M1, N1, K1 соответственно. Найдите длину отрезка KK1, если NN1=13 см, MM1=15 см.

Номер 2: Плоскость a, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках M, N соответственно. Найдите длину отрезка BC, если MN=10 см, а AM:MB=2:3.
Номер 3: Расстояние от некоторой точки до плоскости прямоугольника √5 см, а до каждой из его вершин =3 см. Найдите диагональ прямоугольника.
Номер 4: расстояние от вершин A, B, C параллелограмма ABCD, не пересекающего плоскость a, до плоскости a равны соответственно 14 см, 11 см, 4 см. Найдите расстояние от вершины D до плоскости a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решим каждую из задач по порядку.

Даны отрезки (NN_1 = 13 \, \text{см}) и (MM_1 = 15 \, \text{см}). Поскольку отрезки (MN) и (M_1N_1) являются параллельными прямыми и (K) — середина отрезка (MN), длина (KK_1) можно рассчитать как среднее арифметическое длин (NN_1) и (MM_1):

[
KK_1 = \frac{NN_1 + MM_1}{2} = \frac{13 + 15}{2} = \frac{28}{2} = 14 \, \text{см}.
]

Ответ: 14 см.

Дано (MN = 10 \, \text{см}) и отношение (AM:MB = 2:3). Сначала найдем длину отрезка (AB):

[
AB = AM + MB = AM + \frac{3}{2} \cdot AM = AM \left(1 + \frac{3}{2}\right) = AM \cdot \frac{5}{2}.
]

Пусть (AM = 2x), тогда (MB = 3x) и (AB = 5x).

Поскольку плоскость (a) делит стороны, по свойству подобных треугольников мы имеем:

[
\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}.
]

Решая это уравнение для (BC):

[
BC = MN \cdot \frac{5}{2} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 25 \, \text{см}.
]

Ответ: 25 см.

Пусть точка (P) находится на расстоянии (h = \sqrt{5} \, \text{см}) от плоскости, а расстояние до каждой из вершин равно (3 \, \text{см}). Обозначим длины сторон прямоугольника через (a) и (b).

Согласно теореме, высота до вершины прямоугольника можно вычислить следующим образом:

[
d^2 = h^2 + r^2,
]

где (d) — диагональ прямоугольника, а (r) — расстояние от точки до вершины.

Найдем диагональ:

[
d^2 = (\sqrt{5})^2 + (3)^2 = 5 + 9 = 14,
]
[
d = \sqrt{14} \, \text{см}.
]

Ответ: (\sqrt{14} \, \text{см}).

Дано расстояние от вершин (A), (B), (C) до плоскости: (h_A = 14 \, \text{см}), (h_B = 11 \, \text{см}), (h_C = 4 \, \text{см}). Для параллелограмма, среднее значение расстояний от всех вершин до плоскости равно расстоянию от 4-й вершины (D):

[
\frac{h_A + h_B + h_C + h_D}{4} = H,
]

где (H) — постоянная, равная расстоянию до плоскости. Выражаем (h_D):

[
h_D = 4H - (h_A + h_B + h_C).
]

Сначала найдем среднее расстояние от плоскости:

[
H = \frac{h_A + h_B + h_C}{3} = \frac{14 + 11 + 4}{3} = \frac{29}{3}.
]

Теперь подставляем:

[
h_D = 4 \cdot \frac{29}{3} - (14 + 11 + 4) = \frac{116}{3} - 29 = \frac{116 - 87}{3} = \frac{29}{3} = 9.67 \, \text{см}.
]

Ответ: 9.67 см.

Проверяйте каждое решение на правильность, и если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, дайте знать!