Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?
Может ли число, в десятичной записи которого есть только цифры 1 и 0, иметь ровно 10 делителей?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Число с делителями можно описать с помощью его разложения на простые множители. Если ( n ) - это произведение простых чисел в виде ( n = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \ldots \times p_k^{e_k} ), то количество делителей числа можно найти по формуле:

[
D(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1)
]

Чтобы число ( n ) имело ровно 10 делителей, необходимо, чтобы произведение ( (e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_k + 1) = 10 ). Разобьем число 10 на множители:

( 10 = 10 ) (то есть одно простое число в степени 9: ( p_1^9 ))( 10 = 5 \times 2 ) (то есть два простых числа: ( p_1^4 \times p_2^1 ))

Теперь давайте рассмотрим числа, имеющие только 1 и 0 в десятичной записи. Эти числа могут быть представлены в виде ( 10^k + 10^m + \ldots ) или ( 2^x ) и имеют следующий вид:

( 1 )( 10 )( 100 )( 101 )( 110 )( 1000 )( 1001 ) и т.д.

Для того чтобы такое число имело нужное количество делителей, числитель должен быть сложен так, чтобы он соответствовал одному из вышеупомянутых разложений на простые множители.

Рассмотрим первый случай (один делитель):

( 10^9 ) - это ( 1000000000 ), которое имеет только 1 и 0 и подходит по форме. У него 10 делителей.

Теперь рассмотрим второй случай (два множителя):

Например, можно взять:

( 10^4 \times 10^1 ) это будет ( 100000 ) (число делителей: ( 5 \cdot 2 = 10)),

но это не корректно, так как не соответствует формату с 0 и 1.

Исходя из вышеизложенного, можно утверждать, что числа, содержащие только цифры 1 и 0, действительно могут иметь ровно 10 делителей. Например, ( 1000000000 ) (или ( 10^9 )) - это число соответствует требованиям.