Помощь с решением построения модели Построение модели линейной регрессии с использованием матричных функций Х: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 У: 5, 7, 10, 12, 15, 18, 20, 23, 26

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Построение модели линейной регрессии с использованием матричных функций можно выполнить с помощью уравнения:

[ Y = X\beta + \epsilon ]

где:

( Y ) — вектор целевых значений (зависимая переменная).( X ) — матрица независимых переменных (функции).( \beta ) — вектор коэффициентов.( \epsilon ) — вектор случайных ошибок.

Для вашего случая, где ( X ) — это значения от 1 до 9, а ( Y ) — это соответствующие значения, мы можем использовать метод наименьших квадратов для оценки коэффициентов ( \beta ).

Шаги решения:

Подготовка данных: Сначала мы должны создать матрицу ( X ), которая будет иметь два столбца: первый столбец для константы (1) и второй столбец с вашими данными ( X ).

[
X = \begin{bmatrix}
1 & 1 \
1 & 2 \
1 & 3 \
1 & 4 \
1 & 5 \
1 & 6 \
1 & 7 \
1 & 8 \
1 & 9
\end{bmatrix}
]

Вектор ( Y ):

[
Y = \begin{bmatrix}
5 \
7 \
10 \
12 \
15 \
18 \
20 \
23 \
26
\end{bmatrix}
]

Построение модели: Для нахождения коэффициентов ( \beta ) используем формулу:

[
\beta = (X^T X)^{-1} X^T Y
]

где ( X^T ) — транспонированная матрица ( X ).

Вычисления: Выполняем необходимые матричные операции.

Сначала находим ( X^T X ):

[
X^T X = \begin{bmatrix}
9 & 45 \
45 & 285
\end{bmatrix}
]

Затем находим его обратную матрицу:

[
(X^T X)^{-1} = \frac{1}{(9)(285)-(45)(45)} \begin{bmatrix}
285 & -45 \
-45 & 9
\end{bmatrix}
]

Посчитаем детерминант и затем обратную матрицу.

Далее вычисляем ( X^T Y ):

[
X^T Y = \begin{bmatrix}
126 \
840
\end{bmatrix}
]

В конце мы можем получить вектор ( \beta ), используя формулу.Программный пример на Python

Вот пример, как можно выполнить все эти шаги с использованием Python и библиотеки NumPy:

import numpy as np
# Данные
X = np.array([[1, 1],
[1, 2],
[1, 3],
[1, 4],
[1, 5],
[1, 6],
[1, 7],
[1, 8],
[1, 9]])
Y = np.array([5, 7, 10, 12, 15, 18, 20, 23, 26])
# Вычисление коэффициентов
beta = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ Y
print("Коэффициенты модели (интерсепт и наклон):", beta)

Этот код создаст матрицу ( X ) и вектор ( Y ), а затем вычислит коэффициенты линейной регрессии. Вы получите результат в виде массива, где первый элемент — это интерсепт, а второй — наклон линии регрессии.