Сколько нулей в десятичной записи произведения всех натуральных чисел от 1 до 2025?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы узнать, сколько нулей в конце десятичной записи произведения всех натуральных чисел от 1 до 2025, нужно определить, сколько раз это произведение делится на 10. Поскольку 10 = 2 × 5, это значит, что нам нужно найти минимальное количество пар множителей 2 и 5 в этой факториале.

В факториале ( n! ) количество множителей 5 можно найти с помощью формулы:

[
\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{625} \right\rfloor + \ldots
]

Для ( n = 2025 ):

( \left\lfloor \frac{2025}{5} \right\rfloor = 405 )( \left\lfloor \frac{2025}{25} \right\rfloor = 81 )( \left\lfloor \frac{2025}{125} \right\rfloor = 16 )( \left\lfloor \frac{2025}{625} \right\rfloor = 3 )

Теперь суммируем:

[
405 + 81 + 16 + 3 = 505
]

Следовательно, количество множителей 5 в факториале ( 2025! ) равно 505.

Теперь найдем количество множителей 2:

( \left\lfloor \frac{2025}{2} \right\rfloor = 1012 )( \left\lfloor \frac{2025}{4} \right\rfloor = 506 )( \left\lfloor \frac{2025}{8} \right\rfloor = 253 )( \left\lfloor \frac{2025}{16} \right\rfloor = 126 )( \left\lfloor \frac{2025}{32} \right\rfloor = 63 )( \left\lfloor \frac{2025}{64} \right\rfloor = 31 )( \left\lfloor \frac{2025}{128} \right\rfloor = 15 )( \left\lfloor \frac{2025}{256} \right\rfloor = 7 )( \left\lfloor \frac{2025}{512} \right\rfloor = 3 )( \left\lfloor \frac{2025}{1024} \right\rfloor = 1 )

Теперь суммируем:

[
1012 + 506 + 253 + 126 + 63 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 = 2017
]

Теперь мы знаем, что произведение ( 1 \times 2 \times \ldots \times 2025 ) содержит 505 множителей 5 и 2017 множителей 2. Поскольку для получения нуля необходимо как минимум одно произведение 10, а каждый 10 формируется из одной пары (2, 5), то число конечных нулей в произведении — это минимальное значение между количеством множителей 2 и 5:

[
\min(505, 2017) = 505
]

Таким образом, количество нулей в конце десятичной записи произведения всех натуральных чисел от 1 до 2025 равно 505.