Тригонометрия — раздел математики, изучающий соотношения между углами и сторонами треугольников и функции, описывающие эти соотношения; важна для геометрии, анализа и прикладных задач.
Ключевые понятия:
- В прямоугольном треугольнике для острого угла $\alpha$:
$\sin \alpha =\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\cos \alpha =\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }.$ - На единичной окружности координаты точки под углом $\theta$ равны $(\cos \theta ,\sin \theta )$.
Основные тождества:
- Пифагорово тригонометрическое тождество: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$ - Формулы сложения: $\sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b,\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b.$ - Удвоенный аргумент: $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x.$ - Связь с комплексным анализом (формула Эйлера): $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$
Решение произвольных треугольников:
- Закон синусов: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.$ - Закон косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$
Единицы измерения углов: градусы и радианы, связь $180^{\circ }=\pi$ радиан.
Применения: навигация, астрономия, физика (волны, колебания), инженерия, теория сигналов (ряда Фурье) и т.д.