Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертёжник может выполнять команду Сместиться на (a,b) (где a, b - целые числа), перемещающую Чертёжника из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x+a, y+b). Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
Сместиться на (32, -112)
Повтори N раз
Сместиться на (17, b)
Сместиться на (a, 23)
конец
Сместиться на (-78, 43)
Определите максимальное натуральное значение N, для которого найдутся такие значения чисел a и b, что после выполнения
программы Чертёжник возвратится в исходную точку?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы Чертежник вернулся в исходную точку после выполнения программы, сумма смещений по каждой из координат должна быть равна нулю.

После выполнения команды "Сместиться на (32, -112)" координаты Чертежника станут (32, -112).
После выполнения N раз команды "Сместиться на (17, b)", координаты Чертежника будут (32 + 17N, -112 + bN).
После выполнения команды "Сместиться на (a, 23)", координаты Чертежника будут (32 + 17N + a, -112 + bN + 23).
После выполнения команды "Сместиться на (-78, 43)", координаты Чертежника будут (32 + 17N + a - 78, -112 + bN + 23 + 43).

Таким образом, чтобы Чертежник вернулся в исходную точку, должно выполняться условие:

32 + 17N + a - 78 = 0
-112 + bN + 23 + 43 = 0

Отсюда получаем систему уравнений:

17N + a = 46
bN = 46

N должно быть целым числом, также для нахождения максимального значения N необходимо, чтобы a и b были целыми числами. В данном случае наибольшее значение N, при котором a и b являются целыми числами и Чертежник вернется в исходную точку, равно 46.