Число х представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы их сумма квадратов была наименьшей

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого найдем два таких числа a и b, чтобы их сумма была равна x и их квадраты в сумме были бы минимальными.

Пусть a и b - два неотрицательных слагаемых. Тогда a+b=x.

Нам нужно минимизировать a^2 + b^2 при условии a+b=x.

Для этого применим метод Лагранжа:

L = a^2 + b^2 + λ(a+b-x)

Найдем производные и приравняем к нулю:

∂L/∂a = 2a + λ =
∂L/∂b = 2b + λ =
∂L/∂λ = a + b - x = 0

Из первого уравнения получаем a = -λ/2, а из второго b = -λ/2. Подставим a и b в третье уравнение:

-λ/2 - λ/2 =
-λ =
λ = -x

Таким образом, a = b = x/2, то есть сумма двух неотрицательных чисел a и b, равная x, будет минимальна при a = b = x/2.