Всош по математике Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем АВ = ВС. Отрезки BD и СЕ пересекаются в точке G, лучи DB и ЕА пересекаются в точке F. Известно, что CG = 1,
DG: GB: BF = 5:2:3
Найдите длину отрезка F A

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку АВ=ВС, то угол ABC равен углу ACB, так что произведем замену углов:

АВС=2α, ВСА=2β. Тогда ВCD=5α, СDE=5β.

Возьмём AC=2R. Тогда BC=2Rsinα, AD=2Rsinβ, BD=2Rsin(α+β).

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника BCD:

R/sin(5α)=2Rsin(α+β)/sin(5α).

Упростим:

1/sin(5α)=2sin(α+β)

1/sin(5α)=2sinαcosβ+2cosαsinβ

(sinαcosβ+cosαsinβ)^2=1/4(1-cos^2(5α))

sin^2(α+β)=1/4(1-sin^2(5α))

sin^2(α+β)=1-cos^2(5α)

cos^2(α+β)+sin^2(α+β)=1-cos^2(5α)

Так как BD и CE делятся пополам:

sin(α+β)/sin5β=3/2sin5α

sin(α+β)=3/2cosβ

Тогда sinβ/sin(α+β)=5/3

cosβ=5sin(α+β)/3

(1-cos^2(α+β))(1-sin^2(5α))=5^2/3^2

cos^2(α+β)+cos^2(5α)=1-25/9

5cos^2(5α)=4

R=2/5sin(5α)

Подставим это в AC=2R:

AC=4sin(5α)/5

(СА·СB)(СD·DE)=1

4sin(5α)/5·2R·2Rsin(α+β)(2R·2Rsin(5α))=1

4sin(5α)/5·2/5sin(5α)·2/5sin5α(4/5sin2α)

sinα\sinβ=1/5

sinα=sqrt(5)/5

sinβ=sqrt(5)/5

sin(α+β)=3sqrt(2)/10

cos(α+β)=4/5

cosβ=5sqrt(2)/6

AD=2Rsinβ=4sqrt(5)/3

CD=2Rsin5β=2√5

We also need to find the length of other segments. Let's find angle AJH by finding the angle BHJ first. Since AB = BC, ∠AHB = ∠BJD = 180 - ∠ABC. Hence, ∠FBJ = ∠BJD - ∠FBD = 180 - ∠ABC - ∠FBD.

Also, since AE is a tangent to the circumcircle of pentagon ABCDE at A, ∠FAB = ∠ABC by the tangent-secant theorem. Thus, ∠FBD = 180 - ∠ABC.

Then, DG:GB:BF = 5:2:3, using these ratios and the length of CG = 1, we can express lengths JF = BF, JD = BD, and JH = BH as follows.
CG:GB = 1:2. Since GD:GB = 5:2, JD = (5/2) * GB = 5, DG = 5 - 1 = 4; BC = AB, FC = BF.
Use the Law of Sines to find AF. As we found the measures of sin(α+β) and cos(α+β) as well from the above calculations.
The length of segment AF:
AF = FC / sin(∠CFA) = 20/3.