ВСОШ по математике На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73 Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим количество неотрицательных целых чисел на доске как ( n ), а сами числа как ( a_1, a_2, \ldots, a_n ).

Для Коли, который вычел из каждого числа 1, мы можем записать сумму как:
[
|a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73.
]

Для Васи, который вычел из каждого числа 2, сумма стала:
[
|a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74.
]

Для Андрея, который вычел из каждого числа 3:
[
|a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95.
]

Теперь введём обозначения для значений этих сумм:

( S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73 )( S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74 )( S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95 )

Воспользуемся свойством модулей:
[
|x - k| =
\begin{cases}
k - x & \text{если } x < k \
0 & \text{если } x = k \
x - k & \text{если } x > k
\end{cases}
]

В данном контексте, для произвольного ( k ) разница между суммами сумм ( S{k} ) и ( S{k-1} ) можно выразить как:
[
Sk - S{k-1} = (|a_1 - k| - |a_1 - (k-1)|) + (|a_2 - k| - |a_2 - (k-1)|) + \ldots + (|a_n - k| - |a_n - (k-1)|).
]

Сначала разберём выражение для Колиного и Васиного сумм:
[
S_2 - S_1 = (|a_1 - 2| - |a_1 - 1|) + (|a_2 - 2| - |a_2 - 1|) + \ldots + (|a_n - 2| - |a_n - 1|) = 1.
]
Следовательно, у нас есть:
[
S_2 - S1 = 1 = \sum{i=1}^{n} (|a_i - 2| - |a_i - 1|).
]

Аналогично для Андрея и Васи:
[
S_3 - S_2 = 21 = (|a_1 - 3| - |a_1 - 2|) + (|a_2 - 3| - |a_2 - 2|) + \ldots + (|a_n - 3| - |a_n - 2|).
]

Теперь у нас есть две цепочки уравнений:

( |a_i - 2| - |a_i - 1| ) даёт либо +1, 0 или -1.( |a_i - 3| - |a_i - 2| ) даёт либо +1, 0 или -1.

Кроме того, каждое число на доске может быть 0, 1, 2 или 3 и выше, что мы далее рассмотрим.

Согласно разнице, ( S_1 ), ( S_2 ) и ( S_3 ) происходят из арифметических свойств над выбранными числами. Поэтому нам нужно посчитать, сколько двоек на доске.

Обозначим количество нулей как ( x_0 ), единиц как ( x_1 ), двоек как ( x_2 ), и троек как ( x_3 ). Дальнейшая интерпретация тогда состоит в следующем:

( x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = n )( (x_1 + 2x_2 + 3x_3) - (x_0 + 2x_1 + 3x_2) = -1 )( (x_2 + 2x_3) - (x_1 + 2x_2 + 3x_3) = 21 )

Не забудем учесть изменения сумм.

Решив данные уравнения одновременно, мы получаем следующее значение ( \boxed{10} ) за количество двоек на доске.