Гаевский может означать несколько вещей, в зависимости от контекста:

Гаевский может относиться к человеку с фамилией "Гаевский".

Гаевский также может означать что-то, что связано с деревней Гаево (Гаевск) или именем Гай.

Гаевский может также использоваться как прилагательное, обозначающее какое-либо качество или характеристику, которая ассоциируется с Гаевском или его обитателями.

Более конкретный контекст поможет точнее определить, что именно имеется в виду, когда говорят о "гаевском".