В треугольнике АВС медианы АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в точке О. Точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ соответственно. Докажите, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что медианы разбивают треугольник на шесть треугольников: три равнобедренных треугольника со сторонами, параллельными сторонам исходного треугольника, и три равносторонних треугольника, вершины которых являются серединами сторон исходного треугольника.

Так как точки А₂, В₂, С₂ являются серединами отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁, то получается, что треугольник А₂В₂С₂ – это равносторонний треугольник, вершины которого соответствуют серединам сторон исходного треугольника.

Теперь осталось доказать, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны. Заметим, что отношение длины сторон треугольника АВС к длине медианы, проведенной из соответствующей вершины, равно 2:1. Из этого следует, что треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны с коэффициентом подобия 2.

Таким образом, треугольники АВС и А₂В₂С₂ подобны.