Докажите, что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади, равных площади одной клетки, записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что такой треугольник существует. Пусть его вершины расположены в узлах сетки и его площадь равна 1/4 единицы площади одной клетки.

Рассмотрим одну клетку сетки. Если в эту клетку не входит ни одна из сторон треугольника, то она не входит внутрь треугольника и внутри треугольника находится число клеток, меньше 1/4. Следовательно, одна клетка сетки не может лежать целиком внутри треугольника, который имеет площадь 1/4.

Теперь рассмотрим угол сетки, образованный двумя последовательными сторонами треугольника. Если этот угол составляет 90 градусов, то третья сторона треугольника будет проходить по диагонали клеток сетки. По условию, площадь треугольника равна 1/4. Однако, такой треугольник не может существовать, так как он содержит меньше клеток, чем 1/4 площади клетки.

Итак, мы пришли к противоречию, что означает, что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади, равных площади одной клетки, записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.