Решить показательное неравенство 3*2^(√x+x)+4^(1+√x)< = 4^x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем выражение:

32^(√x+x) + 4^(1+√x) <= 4^x
32^√x 2^x + 44^√x <= 4^x
32^√x 2^x + 4*2^(2+√x) <= 2^(2x)

Теперь заметим, что 2^√x = 2^(1/2)x = sqrt(2^x). Подставим это обратно в неравенство:

3sqrt(2^x) 2^x + 42^(2+√x) <= 2^(2x)
3sqrt(2^x) 2^x + 42^2 * 2^√x <= 2^(2x)

3sqrt(2^x) 2^x + 16*sqrt(2^x) <= 2^(2x)

Теперь введем замену: y = 2^x. Тогда у нас получится:

3sqrt(y) y + 16*sqrt(y) <= y^2

Далее возведем на квадрат обе части неравенства:

(3sqrt(y) y + 16sqrt(y))^2 <= y^4
(3y^(3/2) + 16sqrt(y))^2 <= y^4
9y^3 + 48y^(3/2) + 48y^(3/2) + 256y <= y^4
9y^3 + 96y^(3/2) + 256y <= y^4

Теперь вернемся к исходной замене и решим получившееся кубическое неравенство:

9(2^x)^3 + 96(2^x)^(3/2) + 2562^x <= (2^x)^4
92^(3x) + 962^(3/2x) + 2562^x <= 2^(4x)
98^x + 964^x + 2562^x <= 16^x

Получившееся неравенство можно решить численно или графически.