В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль AC. Точка O яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки O до точки A и пря­мых AD и AC со­от­вет­ствен­но равны 13, 7 и 5. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.
Прошу ответ и пояснения решения данной задачи.
Заранее благодарю!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка O - центр окружности, вписанной в треугольник ABC, а R - радиус этой окружности.
Так как расстояние от центра окружности до стороны треугольника равно радиусу, получаем:
OA = OB = OC = R = 13,
OD = 7,
OC = 5.

Так как AD параллельна BC, то угол BAC равен углу ACD, и углу ABC равен углу ADC.
Так как ABCD - параллелограмм, то угол ABC равен углу ADC.

Заметим, что треугольники AOB и ACD подобны по двум углам, поэтому
AB/AC = OA/CD = 13/5.

Из этого найдем AC = 5AB/13.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора в треугольниках ABC и ACD:
AB^2 + AC^2 = 13^2,
AB^2 + (5AB/13)^2 = 13^2,
AB^2 + 25AB^2/169 = 169,
(169 + 25)AB^2 / 169 = 169,
AB^2 = 169169/194,
AB = 1313/√194 = 13*13/√97.

Так как площадь параллелограмма равна произведению диагоналей разделенному на 2, получаем:
S = ACAB/2 = 1313/√97 5/13 = 513/√97 = 65/√97.

Итак, площадь параллелограмма ABCD равна 65/√97.