Математика, комбинаторика, распределение N конфет между X людьми. Сколькими способами можно разделить 2019 конфет между 15 людьми так, чтоб каждому досталась хотя бы одна конфета? (Все конфеты считать одинаковыми), заранее спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно использовать принцип включений-исключений.

Обозначим через $A_i$ событие, при котором $i$-й человек не получает конфету. Тогда общее количество способов разделить 2019 конфет между 15 людьми равно $15^{2019}$.

Теперь посчитаем количество способов, при которых хотя бы один человек не получает конфету. По формуле включений-исключений это будет:
[|A_1 \cup A2 \cup \ldots \cup A{15}| = \sum_{k} (-1)^{k-1} \binom{15}{k} (15-k)^{2019}.]

Теперь найдем количество способов, при которых все 15 человек получают хотя бы одну конфету:
[15^{2019} - \left(\sum_{k} (-1)^{k-1} \binom{15}{k} (15-k)^{2019}\right).]

Это и будет искомым ответом.