Пусть m и n взаимно просты. Докажите, что в этом случае числа mn и m+n также взаимно просты.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Допустим, что числа mn и m+n не взаимно просты, то есть они имеют общий делитель d больше 1.

Так как m и n взаимно просты, то они не имеют общих делителей, кроме единицы. Поэтому d не может делить и m, и n одновременно. Рассмотрим выражение для числа m+n:

m+n = mn/m + mn/n = m(n/m + n/n) = m + n

Таким образом, мы получаем, что число m+n также делится на d. Из этого следует, что m+n и mn имеют общий делитель больше 1, что противоречит нашему предположению.

Следовательно, исходное утверждение доказано: если m и n взаимно просты, то числа mn и m+n также взаимно просты.