В окруж­ность ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра с вы­со­той 2 впи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной ^3 В окруж­ность верх­не­го ос­но­ва­ния впи­сан пра­виль­ный тре­уголь­ник A1B1C1 так, что он по­вер­нут от­но­си­тель­но тре­уголь­ни­ка ABC на угол 60°.
а) До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABB1C1 — пря­мо­уголь­ник.
б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка ABCA1B1C1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку треугольники ABC и A1B1C1 равносторонние, то AB = AC = BC, A1B1 = A1C1 = B1C1. Таким образом, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1.
Кроме того, из условия мы знаем, что треугольник A1B1C1 повернут относительно треугольника ABC на угол 60 градусов.
Получается, что отрезок AB совпадает с отрезком A1B1, отрезок AC совпадает с отрезком A1C1, отрезок BC совпадает с отрезком B1C1.
Таким образом, треугольники ABC и A1B1C1 равны и гомотетичны с коэффициентом 1.
Следовательно, четырехугольник ABB1C1 – прямоугольник.

б) Объем многогранника ABCA1B1C1 равен объему цилиндра. Обозначим радиус основания цилиндра через R. Тогда объем цилиндра равен pi R^2 h, где h = 2, так как это высота цилиндра.
Радиус R равен половине длины стороны треугольника ABC, то есть R = 3/2.
Подставляем значения в формулу:
V = pi (3/2)^2 2 = 9pi/2.
Итак, объем многогранника ABCA1B1C1 равен 9pi/2.