Вычислить объём треугольной пирамиды KABC, если ∠ACB=90°; AC=CB; AB=2⋅g; каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол ϕ. Вершина пирамиды проецируется в середину гипотенузы в точку пересечения биссектрис основания в центр вписанной в основание окружности в точку пересечения медиан основания V=⋅g⋅ϕ. (Пример заполненного ответа: V=7⋅a2⋅cosβ12. Дробь несократима. Числа в числителе и знаменателе — целые положительные. Если числитель не содержит числового коэффициента, то записать «1».)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания треугольной пирамиды как a. Тогда по условию AC=CB=a.

Так как ∠ACB=90°, то треугольник ACB является прямоугольным и равнобедренным.

Пусть h - высота пирамиды, проведенная из вершины K на плоскость основания ABC.

Так как AB=2g, a=g, то AC=a, CB=a.

Тангенс угла ϕ между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен h/a.

Из условия задачи следует, что h=V/(g⋅ϕ).

Тангенс угла ϕ=h/a=V/(g⋅ϕ)/a=V/(g⋅ϕ⋅a).

Так как боковое ребро пирамиды образует угол ϕ с плоскостью основания, то h/hOB=tgϕ, где hOB - высота остроугольного треугольника ABC.

Так как треугольный конус KDB подобен пирамиде ABC, то hCD⋅k/c=a, где k=cosϕ, c=sinϕ.

Из подобия треугольников ABC и KDB следует, что √hAB=√hCB+hCD=hCB/hAB+hCD=hCB/(g⋅cosϕ)+hCD.

Из соотношения h⁄AC=hCD/gcosϕ следует, что hCB=g⋅cosϕ/(cosϕ+1)=a⋅cosϕ/(1+cosϕ).

Из √hAB=hCD+hCB=hCD+hCB=hCD+g⋅cosϕ/(1+cosϕ)=hCB/hAB+hCD=hCB/(g⋅cosϕ)+hCD следует, что

hAB^2+hCB^2=hCD^2+hABhCD.

hAB^2+hCB^2/g^2cosϕ^2=hCD^2+hABhCD/g⋅cosϕ

hAB^2+hAB⋅g⋅cosϕ/(1+cosϕ)=hCD^2+hCB⋅hCD=hCD^2+hAB⋅hCD=g^2cosϕ/(1+cosϕ)=g^2cosϕ^2/(1+cosϕ)=g^2/(1+cosϕ).

Следовательно, объём треугольной пирамиды KABC равен V=g^2/(1+cosϕ).