Задача по математике Найдите объём и площадь полной поверхности цилиндра, диагональ осевого сечения которого является квадрат с диагональю 12корней из 2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем радиус и высоту цилиндра.

Пусть диагональ осевого сечения цилиндра равна диагонали квадрата, вписанного в этот цилиндр. Тогда по теореме Пифагора для этого квадрата:

(a^2 + a^2 = (12\sqrt{2})^2),
(2a^2 = 288),
(a^2 = 144),
(a = 12).

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в цилиндр, равна 12.

Радиус основания цилиндра равен половине диагонали квадрата, то есть (r = 6).

Площадь боковой поверхности цилиндра: (S{б} = 2\pi r h),
(S{б} = 2\pi \cdot 6 \cdot h).

Так как диагональ осевого сечения цилиндра является высотой цилиндра, то (h = 12\sqrt{2}).

(S_{б} = 2\pi \cdot 6 \cdot 12\sqrt{2} = 144\pi\sqrt{2}).

Площадь полной поверхности цилиндра: (S{п} = S{б} + 2\pi r^2),
(S{п} = 144\pi\sqrt{2} + 2\pi \cdot 6^2),
(S{п} = 144\pi\sqrt{2} + 144\pi).

Объем цилиндра: (V = \pi r^2 h),
(V = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{2} = 432\pi\sqrt{2}).

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра равна (144\pi\sqrt{2} + 144\pi), а объем равен (432\pi\sqrt{2}).