В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD. В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке K, лежащей вне окружности. При этом CK=17, DK=5, AB=2\sqrt{19}. Найдите OK.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AB и CD перпендикулярны, то прямая, соединяющая центр окружности с точкой пересечения хорд, будет являться высотой треугольника CKD.

Таким образом, треугольник CKD является прямоугольным, где CK – катет, DK – катет, а OK – гипотенуза.
Используем теорему Пифагора:
OK = √(CK^2 + DK^2) = √(17^2 + 5^2) = √(289 + 25) = √314.

Теперь рассмотрим треугольник с вершинами O, K и серединой хорды AB. Он также является прямоугольным, так как OK – это радиус окружности, а OK перпендикулярно AB (так как радиус окружности перпендикулярен хорде, проведенной через его середину).

Таким образом, треугольник OKM (где M – середина AB) также является прямоугольным, и мы можем использовать теорему Пифагора:
OM = √(OB^2 - BM^2) = √((AB/2)^2 - KM^2) = √((\sqrt{19})^2 - (OK/2)^2) = √(19 - 157) = \sqrt{157} .

Таким образом, OK = √314 и OM = √157.