Докажите тождествоsin6x+cos6x=1-3sin2x*cos2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем выражение 1 - 3sin^2(2x)cos^2(2x).

Используя тригонометрическую формулу sin^2(2x) = (1 - cos(4x))/2 и cos^2(2x) = (1 + cos(4x))/2 получаем:

1 - 3((1 - cos(4x))/2)((1 + cos(4x))/2) = 1 - 3(1 - cos^2(4x))/2 = 1 - 3sin^2(4x)

Теперь подставим получившееся выражение в исходное уравнение:

sin(6x) + cos(6x) = 1 - 3sin^2(4x) = 1 - 3(1 - cos^2(4x)) = 1 - 3 + 3cos^2(4x) = 3cos^2(4x) - 2

Сейчас раскроем левую часть уравнения:

sin(6x) + cos(6x) = (sin(2x)cos(4x) + cos(2x)sin(4x)) + (cos(2x)cos(4x) - sin(2x)sin(4x)) = sin(2x)cos(4x) + cos(4x)cos(2x) - sin(2x)sin(4x)

Применяя формулу произведения синуса и косинуса для суммы углов, получаем:

sin(2x)cos(4x) + cos(4x)cos(2x) - sin(2x)sin(4x) = cos(2x + 4x) = cos(6x)

Итак, мы видим, что левая и правая части уравнения совпадают, что и требовалось доказать.