7 В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом В
равнобедренный
треугольник
вписан
параллелограмм так, что угол параллелограмма
совпадает с углом при вершине треугольника, а
вершина противолежащего угла лежит на основании.
Докажите, что периметр параллелограмма есть
величина постоянная для данного треугольника. (1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть равнобедренный треугольник ABC имеет две равные стороны AB и AC, а высота опущенная из вершины A пересекает BC в точке D.

Пусть параллелограмм вписан в треугольник так, что угол параллелограмма совпадает с углом B, а вершина параллелограмма лежит на стороне AC (пусть это точка E).

Так как BC || DE, то можно заметить, что угол BAC = угол BDE и угол ABC = угол CDE. Следовательно, треугольники ABC и CDE подобны.

Из подобия треугольников мы можем выразить DE через стороны треугольника ABC:
[\frac{AD}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{DC}{BC} = \frac{DE}{AC-2DE}]
Отсюда получаем, что DE = AC/2.

Теперь, так как EB || DC и BE = DC, то BECD - параллелограмм.

Путем простых геометрических рассуждений можно убедиться, что периметр параллелограмма BECD равен 2(AB + AC).

Таким образом, мы доказали, что периметр параллелограмма постоянен для данного равнобедренного треугольника ABC, в который он вписан.