3. В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4, биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О. Найдите BO/OM (1). 3 В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4,
биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О.
Найдите BO/OM (1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Шевы.

Теорема Шевы утверждает, что если в треугольнике пересекаются биссектриса и медиана, то отношение отрезков, на которые биссектриса делит медиану, равно отношению длин сегментов биссектрисы, примыкающих к основанию треугольника.

Из данной теоремы следует, что ( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} ).

Имеем: ( \frac{BM}{MC} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ).

Теперь заметим, что треугольники BMO и CMO подобны по двум сторонам, так как общий угол при вершине треугольника равен. Отсюда следует, что отношение длин отрезков BM и MC равно отношению длин отрезков BO и OM.

Таким образом, ( \frac{BO}{OM} = \frac{BM}{MC} = \frac{3}{2} ).

Ответ: BO/OM = 3/2.