Профильный матан, стереометрия Правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB= 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK:KB = SM:MC = 2:7. Плоскость содержит прямую KM и параллельна прямой SA.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.
б) Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Обозначим точку пересечения прямых KM и α за P. Так как плоскость α параллельна прямой SA, то угол SMP равен углу SMA. Также угол KMP равен углу KMA. Таким образом, треугольники SMP и SMA подобны по двум углам, а треугольники KMP и KMA подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие отрезки AK и KP, а также MK и MP, делятся на одно и то же отношение 2:7. Таким образом, KP:PB = MP:PC = 2:7.

Теперь рассмотрим треугольник SKP. Из условия задачи известно, что SK:KS = 6:9 = 2:3. Найдем KP, обозначим его за х. Тогда получим:

2/3 = 2/(3+x) => x = 3

Отсюда, KP = 3, PB = 7 - 3 = 4.

Итак, плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7.

б) Найдем расстояние между прямыми SA и KM. Обозначим расстояние между прямыми за h.

Так как прямая KM лежит в плоскости α, пройдущей параллельно SA, то h = MP = KP = 3.

Итак, расстояние между прямыми SA и KM равно 3.