Пример по "математическому анализу". разложить в степенной ряд функцию Дана функция y = 1/(x^2+9). Нужно разложить её в степенной ряд. Никак не могу разобраться, поэтому буду очень благодарен за объяснение и решение.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данная функция не сразу является широкоизвестным степенным рядом. Однако, мы можем воспользоваться методом частных дробей для разложения этой функции.

Для начала представим функцию y = 1/(x^2+9) в виде суммы двух дробей:

1/(x^2+9) = A/(x+3) + B/(x-3), где A и B - некоторые константы.

Умножим обе части уравнения на (x+3)(x-3), получим:

1 = A(x-3) + B(x+3).

Теперь найдем константы A и B, подставив значения x=3 и x=-3:

1 = A(0) + B(6) => B = 1/6,

1 = A(-6) + B(0) => A = -1/6.

Таким образом, разложением функции y = 1/(x^2+9) в степенной ряд будет:

1/(x^2+9) = -1/6/(x+3) + 1/6/(x-3).