Вычисление площадей плоских фигур 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции у = х^2 + 3
и прямыми х = 0, х = 2
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции
у = 4х - х^2 и прямой у = 0
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х + 2,
у = 2х – х^2 /2 + 6
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, графиком функции у = х^3
и прямыми х = -1, х = 2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = х, у = 3х –х^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения площади фигуры между графиком функции y = x^2 + 3, осью абсцисс и прямыми x = 0, x = 2 нам нужно найти определенный интеграл функции y = x^2 + 3 на интервале [0, 2].

Интегрируя функцию y = x^2 + 3, получаем:
∫(x^2 + 3)dx = (x^3)/3 + 3x

Вычисляем определенный интеграл:
S = ∫[0, 2] (x^2 + 3)dx = [(2^3)/3 + 32] - [(0^3)/3 + 30]
S = (8/3 + 6) - (0 + 0)
S = 14/3

Ответ: Площадь фигуры равна 14/3.

Для нахождения площади фигуры между графиком функции y = 4x - x^2 и прямой y = 0, нам нужно также найти определенный интеграл функции y = 4x - x^2 на интервале, где функция положительна.

Интегрируя функцию y = 4x - x^2, получаем:
∫(4x - x^2)dx = 2x^2 - (x^3)/3

Найдем точки пересечения графика с осью Ox (y = 0):
4x - x^2 = 0
x(4 - x) = 0
x = 0, x = 4

Вычисляем определенный интеграл:
S = ∫[0, 4] (4x - x^2)dx = [2(4)^2 - (4^3)/3] - [2(0)^2 - (0^3)/3]
S = [32 - 64/3] - (0 - 0)
S = 96/3 - 64/3
S = 32/3

Ответ: Площадь фигуры равна 32/3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x + 2 и y = 2x - x^2/2 + 6, нам нужно найти разность интегралов этих функций на интервале их пересечения.

Находим точки пересечения графиков:
x + 2 = 2x - x^2/2 + 6
x^2/2 - x + 4 = 0
Решаем уравнение квадратное уравнение и находим x1 и x2

Далее вычисляем интеграл для каждой функции и находим площадь фигуры.

Для нахождения площади фигуры между графиком функции y = x^3 и прямыми x = -1 и x = 2, также нужно найти определенный интеграл функции y = x^3 на интервале [-1, 2].

Интегрируем функцию y = x^3:
∫(x^3)dx = (x^4)/4

Вычисляем определенный интеграл:
S = ∫[-1, 2] (x^3)dx = [(2^4)/4] - [(-1)^4/4]
S = (16/4) - (1/4)
S = 15/4

Ответ: Площадь фигуры равна 15/4.

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x и y = 3x - x^2. Для этого нужно найти точки их пересечения, и так же рассчитать соответствующий интеграл.

Далее, рассчитываем определенный интеграл для каждой функции и находим разность для нахождения площади фигуры.