Фигура, ограниченная прямыми y=2^x x=-1 x=1 y=0 вращается вокруг оси Ох. Найти объем полученного тела вращения.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема тела вращения необходимо использовать метод цилиндров.

Сначала найдем площадь поперечного сечения фигуры, которая вращается вокруг оси Ох.
Это будет площадь прямоугольника со сторонами y и dx, где dx - элементарное приращение x.
Таким образом, площадь сечения равна 2^x * dx.

Теперь мы можем записать уравнение для объема тела вращения:

V = ∫[a, b] A(x) dx,

где A(x) - площадь поперечного сечения, а [a, b] - интервал, на котором задана функция 2^x.

Мы знаем, что функция 2^x принимает значения от 2^-1 до 2^1, поэтому интеграл будет выглядеть следующим образом:

V = ∫[-1, 1] 2^x dx.

Вычислим данный интеграл:

V = ∫[-1, 1] 2^x dx = [2^x / ln(2)] [-1, 1] = (2^1 / ln(2)) - (2^-1 / ln(2)) = (2/ln(2)) - (1/ln(2)) = (1/ln(2)) единиц^3.

Итак, объем полученного тела вращения равен (1/ln(2)) единиц^3.